Gradien Yang Tegak Lurus Pq Adalah

Mari kita belajar tentang materi persamaan garis lurus, gradien, dan bagaimana menentukan apakah dua garis lurus itu tegak lurus atau sejajar.

Ulasan kita kali ini dimulai dari yang dasar berupa penjabaran materi yang berisi rumus, contoh soal dan jawaban persamaan garis tegak lurus, lalu dilanjutkan dengan latihan soal untuk dikerjakan di rumah.

Ayok kita mulai belajar bersama!

1. Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Tegak Lurus, Sejajar, Melalui Titik, dan Diagram Kartesius

Sebelum kita membahas lebih jauh , terlebih dulu kakak berikan gambaran garis besar materi dalam daftar isi di bawah ini yang di dalamnya juga terdapat pengertian persamaan garis lurus dan juga contoh soal persamaan garis lurus SMP kelas viii dan SMA kelas 11.

two. Persamaan garis lurus dan rumus gradien

Pada bagian awal ini kak hinda akan menerangkan apa itu gradien dan bagaimana bentuk persamaannya serta jenis dan contoh soalnya.

a. Pengertian gradien

Gradien adalah kemiringan garis.

Biasanya gradien dilambangkan dengan grand.

b. Persamaan Gradien dalam garis lurus

Bentuk umum dari persamaan garis lurus adalah:

y = mx + c

Yang mana :

• yard
  merupakan
  gradien,
• x
  dan
  y
  adalah
  variabel, dan
• c
  adalah
  konstanta.

Jika teman-teman menjumpai persamaan yang berbentuk:

ax + past + c = 0,

maka cara mencari gradien nya adalah:

• by = – ax – c
• y = (- ax – c) : b
• y = (- a/b)x – (c/b)

Jadi, rumus gradien nya adalah:

chiliad = -a/b

c. Macam-macam gradien

Ada beberapa macam / nilai gradien yang perlu teman-teman tahu, di antaranya:

• Gradien bernilai negatif
  

Contoh soal gradien negatif:

Diketahui sebuah persamaan garis lurus 4y + 2x – viii = 0. Tentukan gradiennya!

Jawab:

one thousand = -a/b = -2/4 = – ½

Jadi, gradiennya bernilai negatif.

• Gradien bernilai positif
  

Contoh persamaan garis lurus:

Diketahui sebuah persamaan 3x – 2y + 6 = 0. Tentukan gradiennya!

Jawaban:

Rumus gradien : yard = -a/b

Sehingga : -three/-ii = 3/2

• Gradien yang melalui titik (0,0) atau pangkal koordinat
  

Jika sebuah garis lurus melalui titik pangkal, maka nilai gradiennya bisa dicari dengan cara:

k = y/x

Contoh latihan soal gradien:

Diketahui sebuah garis melalui pangkal koordinat dan titik (one,iii). Berapakah gradiennya?

Pembahasan:

m= y/ten = three/ane = 3

• Gradien garis yang melalui dua titik (x₁, y₁) dan (x_two, y_two)
  

Teman-teman bisa mencari gradien dari sebuah garis lurus hanya dengan mengetahui dua titik yang dilaluinya.

Misalnya sebuah garis lurus melalui titik A (x₁, y₁) dan B (ten₂, y_ii). Maka gradiennya dirumuskan sebagai:

m = [y₂
– y_one] : [ten₂
– x_one]

Contoh:

Diketahui sebuah garis lurus melalui titik (2, 3) dan (1, -iv). Berapakah gradiennya?

Jawab:

thou = [y₂
– y₁] : [x₂
– x_ane]

chiliad = (-four – three) : (1 – two)

m = -vii : -1

1000 = vii

three. Persamaan garis lurus yang sejajar

Silakan lihat gambar kartesius berikut untuk melihat ilustrasi dua buah garis lurus g dan h yang sejajar.

Dari gambar di atas kita bisa melihat dua buah garis lurus yang sejajar. Sepanjang apapun garisnya, keduanya tidak akan berpotongan.

Secara logika, dua persamaan garis lurus yang sejajar akan memiliki kemiringan garis yang sama. Dengan kata lain, kemiringan atau gradien dari dua garis tersebut adalah sama besar. Dan dituliskan sebagai berikut;

Misal y₁
= thou₁x + c_one
merupakan persamaan pertama dan y_ii
= m₂x + c₂
adalah persamaan kedua. Maka ketika dua garis ini sejajar berlaku;

m₁
= 1000₂

Artinya, gradien pada persamaan garis lurus pertama sama nilainya dengan gradien pada persamaan kedua.

a. Contoh soal persamaan garis sejajar:

Sebuah garis lurus memiliki persamaan 6y + 3x – 8 = 0. Tentukan gradien garis yang sejajar dengan persamaan tersebut!

b. Jawabannya:

Garis lurus pertama: 6y + 3x – 8 = 0

a = iii, b = six. Jadi;

one thousand_i
= – a / b = – 3/half-dozen = – ½

Syarat gradien garis yang sejajar adalah k_ane
= m₂
= – ½

Jadi, gradien garis yang sejajar dengan garis 6y + 3x – viii = 0 adalah m₂
= – ½

4. Persamaan garis lurus yang tegak lurus

Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menunjukkan diagram kartesius dari dua buah garis lurus yard dan l yang tegak lurus satu sama lain.

Yang perlu digarisbawahi dalam materi ini adalah bahwa gradien dari dua garis lurus yang saling tegak lurus jika dikalikan akan menghasilkan angka -i.

Dalam matematika ditulis, misalnya;

y₁
= m₁ten + c_ane

dan

y₂
= m₂10 + c_ii

adalah dua persamaan garis lurus yang saling tegak lurus, maka berlaku;

m₁
. 1000_ii
= -one

atau dengan kata lain rumus gradien tegak lurus adalah;

1000₁
= -one/m_two

atau

one thousand₂
= -1/k₁

a. Contoh soal persamaan garis tegak lurus:

Diketahui sebuah persamaan garis lurus berikut:

2x + y – 6 = 0

Tentukan gradien garis yang tegak lurus dengan garis tersebut.

b. Penyelesaiannya:

2x + y – 6 = 0

a = ii, b = ane, c = -6

m₁
= – a/b = -two/i = -2

Gradien garis yang tegak lurus dengan gradien tersebut adalah one thousand₁
* m₂
= -1

one thousand₂
= -ane/m_i

chiliad₂
= -1/-2

thousand₂
= ½

Jadi, gradien garis yang tegak lurus dengan garis 2x + y – 6 = 0 adalah ½.

5. Persamaan Garis Lurus Melalui 1 Titik

Ingat, bahwa bentuk persamaan garis lurus secara umum adalah;

y = mx + c

dengan g adalah gradien atau kemiringan.

Untuk menentukan persamaannya, maka digunakan rumus persamaan garis lurus yang melalui satu titik (x₁, y₁);

y – y_i
= g (ten – x_i)

a. Contoh Soal:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,3) dengan gradien sebesar 2.

b. Pembahasan:

• Cara 1: Pakai rumus umum
  

Diketahui titiknya adalah (x₁, y₁) —-> (4,three), dengan demikian nilai x_ane
= 4 dan y₁
= 3, maka langkah selanjutnya adalah substitusi nilai yard dan nilai (x₁, y₁) ke dalam rumus;

• • y – y₁
    = one thousand (10 – x_i)
  • y – iii = 2 (ten – 4)
  • y – 3 = 2x – 8
  • y = 2x – eight + 3 (pindah ruas, negatif menjadi positif)
  • y = 2x – 5

Jadi, persamaannya adalah y = 2x – 5

• Cara 2: pakai rumus cara cepat
  

Mencari nilai c dari persamaan umum garis lurus, yakni;

• • y = mx + c

Substitusi nilai gradien two dan nilai (4, 3) ke dalam persamaan di atas;

• • 3 = ii. 4 + c
  • three = 8 + c
  • c = 3 – 8
  • c = – v

Kemudian, dimasukkan atau disubstitusikan ke persamaan umum garis lurus, menjadi;

• • y = mx + c
  • y = 2x – 5

Jadi, persamaannya adalah y = 2x – five

6. Persamaan Garis Lurus Melalui 2 Titik

Rumus persamaan garis melalui 2 titik (10₁, y₁) dan (x_ii, y₂) adalah:

a. Contoh soal:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik (2, -4) dan (1, four)!

b. Jawaban:

Diketahui ten₁
= 2, y_ane
= -4, ten₂
= 1, y₂
= four

Jadi, persamaan garisnya adalah y = -8x + 12

7. Contoh soal persamaan garis lurus dan jawabannya

Berikut adalah beberapa contoh soal yang bisa teman-teman pakai belajar di rumah:

a. Contoh Soal 1

Carilah persamaan garis yang sejajar dengan persamaan garis lurus y = 2x – 3 dan melalui titik (4,3).

Jawaban dan penyelesaian:

Diketahui, persamaan garis lurus pertama adalah y = 2x – iii

Di mana y_ane
= one thousand₁ten + c₁
maka y = 2x – 3, yang artinya m₁= ii.

Karena garisnya sejajar, maka 1000₁
= m_two
= ii.

Substitusikan nilai m₂
= two di atas pada persamaan y = mx + c. Substitusikan juga nilai x dan y yang dilalui oleh garis tersebut.

• y = mx + c
• 3 = 2.4 + c
• 3 = 8 + c
• c = 3 – viii
• c = -5

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y = 2x – 3 adalah y = 2x – v.

b. Contoh Soal two

Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik (-2, v)!

Jawaban dan penyelesaian:

Langkah pertama, ubah dulu persamaan 2x + 3y + half dozen = 0 dalam bentuk persamaan umum, menjadi;

• 2x + 3y + vi = 0
• 3y = -2x – 6
• y = -2/iii x – 2

Dengan begini, nilai thou₁
= -2/iii

Atau cari nilai m_i
memakai rumus m_one
= -a/b dari persamaan:

• 2x + 3y + 6 = 0 —> ax + past + c = 0
• chiliad₁
  = -two/3

Kemudian, one thousand₁
= one thousand₂
= -ii/3 (karena sejajar), substitusikan pada persamaan berikut titik yang dilalui oleh garis tersebut;

• y = mx + c
• five = -two/3 . -two + c
• 5 = four/3 + c
• c = 5 – four/three
• c = 11/3

Substitusi ke persamaan umum lagi;

• y = mx + c
• y = -2/3x + eleven/3 (dikalikan 3 semua)
• 3y = -2x + xi
• 2x + 3y – 11 = 0

Jadi, persamaan garis yang sejajar dengan 2x + 3y + half-dozen = 0 adalah 2x + 3y – xi = 0.

c. Contoh Soal 3

Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y – 2x + 3 = 0 dan melalui titik (4,3)!

Jawaban dan penyelesaian:

Kita perlu mengubah dulu persamaannya dalam bentuk umum y = mx + c, yakni;

• y – 2x + 3 = 0
• y = 2x – 3

Dari persamaan ini, dapat diketahui bahwa gradien garisnya adalah two, ditulis m₁
= 2.

Atau kita bisa mencari nilai m₁
dari rumus -a/b.

Persamaannya adalah y – 2x + 3 = 0 —-> ax + by + c = 0

Sehingga :

• a = -2, b = ane, dan c = three.
• m₁
  = -a/b = – (-2/i) = ii

Karena tegak lurus, maka 1000₁
. yard₂
= -1 atau g_two
= – ½

Selanjutnya, teman-teman bisa menyubstitusi nilai yard₂
yang sudah diperoleh dan koordinat titik (4,3) ke dalam persamaan y = mx + c menjadi;

• 3 = – ½ .4 + c
• c = iii + ii
• c = 5

Persamaan kedua dapat dicari dengan cara substitusi;

• y = mx + c
• y = – ½ 10 + 5

Jadi, persamaan garis lurus yang tegak lurus terhadap garis y = 2x – iii adalah

• y = – ½ x + v.

d. Contoh Soal 4

Sejajar atau tegak luruskah garis y – 3x + 4 = 0 dan y – 3x – 2 = 0?

Jawaban dan penyelesaian:

Persamaan one;

• y – 3x + 4 = 0
• y = 3x – 4
• g₁
  = 3

Persamaan 2;

• y – 3x – 2 = 0
• y = 3x + 2
• k_two
  = 3

Jadi, dua garis tersebut sejajar, karena grand₁
= thousand₂
= 3

e. Contoh Soal 5

Sejajar ataukah tegak lurus persamaan garis lurus 3x – y = 5 dan –10 – 3y = 6 ?

Jawaban dan penyelesaian:

Persamaan pertama;

• 3x – y = five
• -y = -3x + 5 (kalikan dengan -1)
• y = 3x – v
• m₁
  = iii

Persamaan kedua;

• –x – 3y = half dozen
• -3y = 10 + 6
• y = (10 + 6)/-three
• y = – 1/three x – 2
• yard_two
  = -1/iii

Kemudian, cari hubungan antara m₁
dan m₂, sebagai berikut;

• 1000₁
  . m₂
  = three . (-1/3) = -1

Dengan demikian, kedua garis ini tegak lurus.

f. Contoh Soal 6

Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik (-two, 5)!

Jawaban dan penyelesaian:

2x + 3y + half dozen = 0, maka

• a = 2, b = 3, c = 6
• thousand_ane
  = -a/b = -2/3

Karena tegak lurus, maka:

• k_ii
  = -ane/m₁
  = 3/2

Persamaan garis yang melalui titik (-two, 5) adalah…

• y – y_i
  = k (x – ten₁)
• y – five = 3/two [x – (-2)]
• y = three/2 10 + 3 + 5
• y = 3/two x + 8 (semua dikali two)
• 2y = 3x + 16
• 3x – 2y + 16 = 0

Jadi, garis yang tegak lurus dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik (-2,5) adalah 3x – 2y + 16 = 0.

8. Cara mencari titik koordinat untuk menggambar grafik diagram kartesius

Agar makin mudah memahami materi persamaan garis lurus, kak Hinda akan menggunakan soal nomor half-dozen di atas untuk menggambarkan contoh soal koordinat kartesius dalam bentuk diagram. Tapi sebelumnya, kita harus menentukan titik koordinatnya terlebih dulu. Berikut adalah cara mencari titik koordinat kartesius:

Pertama-tama, cari dulu koordinat (x, 0), dan (y,0)

• Persamaan 1: 2x + 3y + 6 = 0
• Untuk nilai y = 0, maka nilai x adalah:
  • 2x + 0 + 6 = 0
  • 2x = -6
  • x = -3
• Untuk nilai x = 0, maka nilai y adalah:
  • 0 + 3y + half-dozen = 0
  • 3y = -6
  • y = -2

Kemudian ambil ii titik lain sembarang

• Misal x = -i dan x = 1 maka jika dimasukkan ke dalam persamaan ditemukan secara berturut-turut y = -iv/3 dan y = -8/3.

Sehingga kita mendapatkan 4 koordinat, yakni: (0, -2), (1, -viii/3), (-i, -4/three), dan (-3, 0). Hubungkan keempat titik dalam diagram kartesius.

Persamaan: 2x + 3y + vi = 0
x	y
	-two
i	-8/3
-1	-4/3
-3

Lakukan hal serupa untuk persamaan kedua. Maka akan ditemukan iv titik koordinat sebagai berikut:

(0, 8), (1, 19/2), (-i, 13/2), dan (-16/iii, 0)

Hubungkan keempat titik koordinat tersebut dalam diagram kartesius sehingga terbentuk sebuah garis lurus.

Persamaan: 3x – 2y + 16 = 0
x	y
	eight
one	19/2
-1	xiii/2
-xvi/3

Jadi, jika digambar dalam diagram kartesius hasilnya:

Catatan:

Dalam membuat diagram kartesius, langkah paling penting dan mudah adalah dengan mencari nilai titik koordinat kartesius (x, 0) dan atau (y, 0) terlebih dulu. Dengan langkah ini, maka akan jauh lebih mudah menggambarnya.

Seperti yang saya gambar di atas.

Atau jika memang sudah tahu titik yang dilalui, maka gunakan titik ini untuk membuat garis.

Demikian informasi tentang gradien persamaan garis lurus, dua garis yang sejajar, tegak lurus, dan garis yang melalui satu titik. Juga, bagaimana cara identifikasi apakah dua garis saling sejajar atau tegak lurus.

Selamat belajar.