Berapakah Busur Setengah Lingkaran Yang Dapat Dibuat Dari Suatu Lingkaran

(1)

Lingkaran

Standar Kompetensi

Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya

Kompetensi Dasar

iv.one Menentukan unsur dan bagian-bagian lingkaran 4.2 Menghitung keliling dan luas bidang lingkaran 4.3 Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang

busur, luas juring dalam pemecahan masalah iv.4 Menghitung panjang garis singgung

persekutuan dua lingkaran

(2)

Unsur-Unsur Lingkaran

Pernahkah kamu naik sepeda?

1. Berbentuk apakah roda sepeda itu?

Coba kamu sebutkan benda-benda di sekelilingmu yang mempunyai bentuk seperti roda sepeda.

2. Jika roda sepeda diputar, adakah bagian yang tidak bergerak?

Disebut apakah bagian itu?

Perhatikan jeruji sepeda, adakah jeruji yang panjangnya tidak sama?

Jika roda sepeda tersebut berbentuk lingkaran, disebut apakah bagian yang tidak bergerak dan jeruji sepeda itu?

D B

Gambar 6.1

three. Gambar 6.ane di samping adalah gambar lingkaran dengan pusat O. Titik A terletak pada lingkaran.

a. Ada berapa titik yang terletak pada lingkaran ?

b. Apakah jarak titik A,B,C, dan D ke O sama?

c. Coba sebutkan suatu pengertian lingkaran (menurut pendapatmu).

d. Menurutmu, apa nama yang tepat untuk

, OB ,

OA
_OC
_,
_dan
_OD
_{dan apa nama yang}

tepat untuk BD?

half-dozen. ane

Lingkaran dan Bagian-bagiannya

Apa yang akan kamu

pelajari?

Unsur-unsur lingkaran Pendekatan nilai p

Kata Kunci:

Lingkaran

Keliling lingkaran Pusat lingkaran Jari-jari lingkaran Diameter lingkaran Talibusur lingkaran Juring lingkaran Tembereng lingkaran

(three)

k •

Gambar vi.2

B A P

Gambar half-dozen.3

B A

•

Gambar 6.iv

•

A
_B

Gambar six.5

4. Perhatikan gambar 6.2 di samping. Jika kamu berjalan searah putaran jarum jam dari titik A menelusuri lingkaran dan kembali ke titik A, maka panjang lintasan yang dilalui itu dinamakan
keliling lingkaran (K).

Perhatikan gambar 6.3 di samping
.

Sudut
pusat
adalah sudut di dalam lingkaran yang titik sudutnya adalah titik pusat lingkaran.

∠APB adalah sudut pusat lingkaran. Gambar lah sudut pusat yang lain. Ada berapa sudut pusat yang dapat kamu gambar?

AB adalah tali busur lingkaran. Gambarlah

tali busur yang lain. Ada berapa tali busur yang dapat kamu buat? Sebutkan dengan kata-katamu sendiri pengertian tali busur!

5. Garis lengkung ADC disebut busur panjang atau
busur besar dan ditulis ADC. Apakah
ciri suatu busur panjang? Sedangkan garis lengkung ABC disebut busur pendek atau
busur kecil dan ditulis ABC atau AC saja.
Apakah ciri suatu busur pendek? Tulislah dua busur panjang dan dua busur pendek yang lain.

Selanjutnya jika disebut busur AC maka yang dimaksud adalah busur pendek AC.

half-dozen. Jika
_AB
diameter lingkaran maka AB disebut busur setengah lingkaran. Ada berapa busur setengah lingkaran yang dapat kamu buat? Coba gambar busur setengah lingkaran yang lain.

(4)

7. Gambar di samping adalah jembatan dengan bagian kerangka yang melengkung merupakan busur lingkaran. Coba kalian jalan-jalan keluar sekolah. Amati benda-benda di sekitarmu yang berbentuk lingkaran atau bagian-bagian dari lingkaran. Catat dan hasilnya kamu kemukakan pada temanmu di depan kelas.

8. Perhatikan gambar 6.6, daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur disebut juring. Bagian lingkaran yang berwarna merupakan juring kecil AOB, sedangkan bagian yang tidak berwarna merupakan juring besar AOB.

Selanjutnya yang disebut juring AOB adalah juring kecil AOB.

9. Gambar 6.7 di samping menunjukkan buah semangka yang telah dimakan seorang anak dan bentuknya disebut juring lingkaran

Dapatkah kamu menunjukkan benda-benda di sekitarmu yang berbentuk juring lingkaran?

C
_•
B

Gambar 6.eight

10. Pada gambar 6.8 di samping, daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah talibusur dan busurnya dinamakan tembereng.
Bangun ABC merupakan tembereng lingkaran.

Dapatkah kamu menunjukkan benda-benda di sekitarmu yang berbentuk tembereng?

eleven. Ibu Ninuk mempunyai 6 orang anak. Ibu Ninuk akan membagikan kue yang permukaannya berbentuk lingkaran. Dapatkah kamu membantu ibu Ninuk untuk membagi kue sehingga semua mendapat bagian yang sama? Bagaimana caramu membagi kue itu?

Dit. PSMP, 2006

Gambar 6.7

Gambar half dozen.7 Dit. PSMP, 2006

Gambar half-dozen.six

(v)

1. Berapakah banyaknya jari-jari yang berbeda dari suatu lingkaran? Berapa banyaknya diameter yang berbeda dari suatu lingkaran?

2.
Buatlah lingkaran dengan pusat O. Gambarlah beberapa talibusur lingkaran dan ukurlah panjangnya. Talibusur manakah yang terpanjang? Apakah nama khusus bagi talibusur terpanjang itu?

three. Berapakah perbandingan panjang jari-jari dan diameter lingkaran?

4. Gambarlah lingkaran dengan pusat A dan jari-jari ii cm! Gambarlah sudut pusat BAC! Gambarlah lingkaran lain dengan pusat A dan jari-jari four cm! Gambarlah sudut pusat BAC! Jika jari-jari lingkaran diperbesar dua kali, apakah ukuran sudut BAC berubah? Untuk soal nomor 5 sampai dengan xiv gunakan

gambar half dozen.nine di bawah!

Gambar half-dozen.9 di samping adalah lingkaran dengan pusat P

v. Talibusur yang juga diameter adalah …… half dozen. Jika KN = 12 cm, tentukan panjang PL! 7. Apakah
_PM
talibusur lingkaran ? eight. Apakah
_PN
=
_PL?

ix. Sebutkan empat ruas garis yang merupakan jari-jari lingkaran! 10. Apakah PQ <
_KN?

11. Segitiga apakah ΔPRQ ?

12. Jika PR = 6 cm dan RQ = half dozen cm, tentukan
_PT
jika
_PT
⊥

RQ!

13. Sebutkan tembereng dan juring pada gambar half dozen.9! fourteen. KNQR disebut segiempat tali busur, mengapa?

Jelaskan! Sebutkan segiempat-segiempat talibusur

•

Q 50 K

•

Grand P

T
_Northward

Lat ihan 6 . 1

(6)

Lab-Mini

Keliling Lingkaran

Kembali ke masalah roda sepeda.

Pada roda sepeda terdapat ban yang menempel di
peleg
roda. Bagaimana caramu menghitung panjang ban sepeda tersebut?

Hal ini sama saja dengan menghitung keliling roda sepeda tersebut!

Untuk menjawab masalah ini, lakukan kegiatan berikut.

6. 2

Keliling dan Luas Lingkaran

Apa yang akan kamu

pelajari?

• Rumus keliling dan aplikasinya

• Pendekatan luas lingkaran dengan menghitung persegi satuan

• Menemukan rumus luas lingkaran dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari

Kata Kunci

• Keliling Lingkaran • Rumus Keliling Lingkaran • Luas Lingkaran

Kerja Kelompok

Alat : penggaris, tali rafia atau pita, macam-macam

benda yang permukaannya berbentuk lingkaran dalam berbagai ukuran.

• Pilih sebuah benda yang permukaannya berbentuk lingkaran.

• Jiplak permukaan benda pada kertas, gunting jiplakan tersebut. Lipat guntingan menjadi dua bagian yang sama, ukur diameter lingkaran pada jiplakan dan catat hasilnya pada tabel six.1.

• Lilitkan tali/ pita mengelilingi permukaan benda itu. Beri tanda pada tali tempat pertemuan ujung dan pangkalnya.

• Lepaskan tali itu dan bentangkan, kemudian ukur panjangnya dengan penggaris.

• Catat hasilnya pada tabel half dozen.1. Hasil ini merupakan keliling lingkaran tersebut.

• Bagi keliling lingkaran itu dengan panjang diameter. Catat jawabanmu.

• Ulangi kegiatan di atas dengan dua benda lain yang permukaannya berbentuk lingkaran.

(vii)

Lab-Mini

Diskusikan

a. Bandingkan hasil pembagian keliling lingkaran dan bore setiap lingkaran dengan melengkapi tabel 6.one berikut.

Benda d 1000 K_d

1 2 3

Apa yang kamu dapat ?

b. Bagaimanakah hubungan antara keliling lingkaran dengan diameter?

Tabel 6.1

Huruf Yunani π digunakan untuk menyatakan keliling lingkaran dibagi dengan diameter (Yard_d). Pendekatan yang sering digunakan untuk π adalah 3,xiv atau 22_seven
.

Dapatkah kamu menyatakan keliling lingkaran jika jari-jari atau diameternya diketahui? Apakah pernyataan yang kamu buat sesuai denan rumus berikut.
Dengan kata-kata: Keliling sebuah lingkaran sama
dengan π dikalikan dengan diameter lingkaran atau 2π dikalikan dengan jari-jari lingkaran.

Secara simbolik : Jika suatu lingkaran berjari-jari r,
dan diameter lingkaran

d,

maka keliling lingkaran

Keliling

Lingkaran

_{Petunjuk Kalkulator}

♦♦ ♦♦ ♦♦♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

π

adalah suatu bilangan yang sering dilakukan untuk perhitungan berkaitan dengan bangun lingkaran

maupun bola. Biasanya

π

mempunyai tombol tersendiri dalam kalkulator.

Apa yang keluar dari layar kalkulator jika kamu menekan tombol ?

_π

(8)

Keliling sebuah ban sepeda 176 cm.

a) Hitunglah panjang jari-jari ban sepeda jika π = 22₇

b) Tentukan panjang lintasan yang dilalui ban sepeda bila berputar thou kali.

Seorang pengusaha akan membuat cetakan roti untuk mencetak roti seperti gambar di samping. Jika keliling roti yang akan dibuat masing-masing 21cm dan 42cm, tentukan perbandingan antara panjang jari-jari kedua cetakan roti.

Pendekatan Luas Lingkaran dengan Menghitung Persegi Satuan

Dapatkah kamu mencari luas permukaan uang koin 100 rupiah bergambar rumah Minang keluaran tahun 1998? Atau uang koin l rupiah bergambar komodo keluaran tahun 1996?

Gambar six.10

Seorang pengusaha akan membuat komedi putar seperti gambar half dozen.x di samping. Jika tempat duduk pada drumolen sebanyak 21 buah dan masing-masing tempat duduk berjarak 3 one thousand, berapakah panjang jari-jari drumolen?

Gambar 6.10

sumber:www.indosiar.com

Soal 1

Soal 2

Soal three

(9)

Lab-Mini

Carilah luas daerah lingkaran pada gambar di bawah dengan pendekatan.

a. b. c.

Menemukan Rumus Luas Lingkaran dan Aplikasinya

Pak Budi mempunyai sumur untuk tempat pembuangan kotoran ternaknya. Supaya tidak berbau Pak Budi akan menutup sumur tersebut dengan tutup berbentuk lingkaran terbuat dari seng. Berapakah luas seng tersebut? Untuk menjawab masalah ini lakukan kegiatan berikut.

Kerja Kelompok

Alat dan Bahan : kertas berpetak, penggaris, pensil,
uang logam Rp100,00 dan Rp50,00

• Jiplaklah uang koin Rp100,00 pada kertas berpetak.

• Hitunglah banyaknya persegi yang utuh yang ada dalam daerah lingkaran.

• Hitunglah banyaknya persegi yang luasnya lebih dari separoh.

• Hitunglah banyaknya persegi yang luasnya kurang dari separoh.

• Berapa persegi satuan kira-kira luas permukaan logam Rp100,00? Bandingkan hasilnya dengan kelompok lain.

• Ceritakan bagaimana kamu mendapatkan luas permukaan koin tersebut.

Soal 4

(10)

Lab-Mini

Kerja Kelompok

Penemuan

Alat dan bahan : kertas, jangka, penggaris,
gunting, busur derajat, pensil dan lem kertas. one. Gambarlah tiga buah lingkaran dengan

jari-jari berbeda.

2. Bagilah daerah lingkaran tersebut menjadi 16 juring yang kongruen. Kamu dapat menggunakan jangka untuk membagi sudut pusat sama besar. Atau kalian dapat pula menggunakan busur

derajat untuk menentukan sudut-sudut pusat yang sama pada setiap juring.
Misalkan r satuan
menyatakan jari-jari lingkaran dan Grand satuan
menyatakan keliling lingkaran itu

3. Arsirlah daerah setengah lingkaran.

four. Guntinglah setiap juring yang telah kamu buat. 5. Susunlah juring-juring

tersebut, sedemikian hingga berbentuk seperti segi-n, misal jajargenjang six. Tentukan panjang dan lebar bangun yang telah kalian susun.

7. Tentukan luas daerah bangun tersebut.

viii. Kesimpulan apa yang kamu peroleh?

ix. Dapatkah kamu temukan susunan selain pada (5)? Jika dapat, sebutkan!

x. Tentukan luas daerah bangun (ix) eleven. Kesimpulan apa yang kamu peroleh? 12. Bandingkan hasil (eight) dengan (eleven)

13. Lakukan langkah (v) s.d (8) untuk bangun-bangun yang lain

½ K

i
Thousand (alas)

2r

(tinggi)

(11)

one. Berapa diameter lingkaran jika jari-jarinya 13 1000? Tentukan keliling tiap-tiap lingkaran pada soal 2 dan 3 berikut!

15 cm 2.

12 cm iii.

Tentukan keliling tiap-tiap lingkaran pada soal 4 sampai dengan 7, jika diameter atau jari-jarinya sebagai berikut.

4. diameter 17 cm. 5. jari-jari 3 1000. 6. jari-jari 6,two cm. vii. diameter 4,5 k. Tentukan diameter dan jari-jari dari lingkaran pada soal 8 dan 9, jika diketahui keliling lingkarannya sebagai berikut.

8. 76,4 cm nine. 2368 cm

Dengan kata-kata: Luas sebuah daerah lingkaran
(yang seterusnya disebut luas lingkaran) sama dengan π dikalikan dengan kuadrat dari panjang jari-jari lingkaran itu.

Secara simbolik : Jika suatu lingkaran berjari-jari r,
maka luas lingkaran itu,

L =

π
r2

Luas daerah

Lingkaran

Tentukan luas dasar sebuah kue taart jika dasar kue taart itu berdiameter 20 cm.
Jawab:

Jari-jari lingkaran: r = i

2 x 20 = 10

L = πr2 =
three,14 x 10 x 10 = 314

Jadi luas dasar kue taart adalah 314 cm2 Dit. PSMP, 2006

Cont oh 1

(12)

xiii. Ibu akan membuat alas gelas dari kain perca yang terdiri dari dua kain perca seperti gambar di samping. Tentukan keliling kain perca bagian dalam dan bagian luar jika jari-jari bagian dalam 1 cm dan bagian luar 3 cm.

14. Ibu membuat
Pizza
dengan ukuran berbeda. Ukuran besar berdiameter sixteen cm, ukuran sedang berdiameter 12 cm dan ukuran kecil berdiameter 8 cm.

Bahan kue mana yang lebih banyak diperlukan untuk membuat i
Pizza
ukuran besar ataukah 2
Pizza
ukuran sedang?

15. Borobudur adalah candi kuno di Kabupaten Magelang Jawa Tengah. Stupa dari candi ini disusun dari batu-batu dan alasnya berbentuk lingkaran yang berdiameter 2 chiliad. Tentukan luas daerah lingkaran tersebut.

16. Lantai sebuah stadion olahraga dapat disusun bagian demi bagian dan membentuk sebuah arena pertandingan seperti gambar di samping ini. Tentukan luas loonshit tersebut.

75 one thousand

125 one thousand

ten.
Pedal sebuah sepeda tahun 1870 berada di roda depan. Diameter roda depan 160 cm dan diameter roda belakang 30 cm. Berapa kali roda belakang berputar penuh untuk setiap satu putaran penuh roda depan?

xi.

Berpikir Kritis

.

Ani akan membuat 2 model cincin

yang dibuat dari kawat yang panjangnya ane 1000. Model cincin pertama jari-jarinya 35 mm dan model cincin ke dua jari-jarinya 28 mm. Berapakah Ani akan mendapat model cincin pertama dan kedua dengan sisa potongan kawat sesedikit mungkin?

(13)

xviii.

Matematika dan Seni

Sebuah “fresco” merupakan lukisan dinding jenis khusus yang dibuat pada saat dinding dilapisi. Cat-cat dicampur dengan gips yang basah dan ditempelkan pada dinding itu. Warna-warna yang terjadi sangat cerah pada saat gips itu sudah kering.

Affandi adalah seorang pelukis yang lugu, sederhana dalam sikap dan penampilannya. Kalangan pelukis menyebut lukisan Affandi bergaya ekspresionis. Pelukis kelahiran Cirebon ini mendapat gelar
doktor
honoris Causa
dari Universitas Singapura. Pada masa perjuangan ia ikut pula membuat affiche-poster perjuangan. Sebuah poster di antaranya berjudul “Boeng Ajo Boeng …!” diberi teks oleh penyair kenamaan Chairil Anwar. Pernah Affandi bekerja sebagai guru di Taman Siswa Djakarta, kemudian ia mendapat kesempatan belajar melukis di India. Sebagai calon siswa, ia harus mengikuti tes masuk dengan

menggambar lingkaran

tanpa alat bantu. Menurut hasil tes, Affandi ditolak menjadi siswa sekolah seni lukis Shantiniketan, namun diterima sebagai tenaga pengajar. Dengan beasiswa yang diterimanya sebagai “mahasiswa langsung lulus,” Affandi mengadakan perjalanan keliling India sambil melukis. Affandi yang semakin tua memang makin lemah, namun semangatnya begitu besar sehingga dalam keadaan sakitpun, di atas ranjangnya Affandi tetap melukis.

Seandainya kamu ingin melukis matahari dengan luas 4 m2 , berapa kira-kira diameter lukisan matahari yang akan kamu lukis tersebut?

17. Perbandingan jari-jari dua buah lingkaran adalah ten : y. Tentukan perbandingan luas kedua lingkaran tersebut. Dapatkah kamu menuliskan perbandingan tersebut dengan kata-katamu?

(14)

Sudut Pusat , Sudut Keliling dan

Juring Lingkaran

Ibu membuat kue bolu yang alasnya berbentuk lingkaran. Setelah matang Ibu akan memotong kue itu menjadi beberapa bagian yang sama besar.

Bagaimanakah kira-kira cara Ibu memotong kue tersebut?

Jika Ibu memotong kue seperti gambar di atas, apakah setiap bagiannya nanti akan sama besar? Mengapa?

Yang dilakukan Ibu adalah memotong kue yang permukaannya membentuk sudut sama besar dan titik sudutnya merupakan pusat lingkaran.

Titik sudut dari sudut pusat terletak pada pusat lingkaran. Titik sudut dari sudut keliling terletak pada lingkaran.

• O

B •

• • • D •

Gambar 6.x

Perhatikan gambar 6.10 di samping. ∠AOB disebut
sudut pusat.
∠CPD disebut sudut
keliling.

Coba sebutkan ciri-ciri sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran?

Coba kamu gambar sudut pusat dan sudut keliling yang lain pada lingkaran di samping.

Sudut Pusat, Busur, dan Juring Lingkaran

Apa yang akan kamu

pelajari?

• Sudut Pusat, Sudut Keliling, dan Juring • Hubungan sudut Pusat

dengan Panjang Busur • Hubungan Sudut-Sudut

Pusat dengan Luas Juringnya

Kata Kunci:

• Sudut Pusat • Sudut Keliling • Panjang Busur

• Luas juring Lingkaran

A

(15)

Lab-Mini

Berpikir Kritis

Berapakah besar sudut keliling yang menghadap diameter?

Menghadap sebuah busur, kamu dapat menggambar beberapa sudut keliling-sudut keliling. Bagaimana besar sudut-sudut tersebut? Kamu akan menemukannya melalui kegiatan berikut.

Melalui dua titik pada lingkaran, kita dapat menggambar sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama

Kerja Kelompok
Penemuan

Alat dan Bahan
: kertas HVS, lem, penggaris, gunting, jangka, alat tulis.

Langkah-langkah:

1. Gambar tiga buah lingkaran dengan jari-jari berbeda

2. Gambar sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama pada masing-masing lingkaran 3. Gunting sudut pusat pada lingkaran i

4. Lipat sudut pusat (three) menjadi dua bagian yang sama, bandingkan dengan sudut keliling pasangannya (pada lingkaran 1)

five. Lakukan seperti langkah (3) dan (4) untuk lingkaran-lingkaran yang lain

six. Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh?

Apakah kesimpulan yang kamu peroleh sesuai dengan kesimpulan berikut?

• A

B •

• •

2x
°

Gambar 6.eleven

x
°
_O

Hubungan
Sudut Pusat

dan

Sudut Keliling

Besar sudut pusat sama dengan

dua kali

besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama

(16)

Lab-Mini

Kerja Kelompok
Penemuan

Alat dan Bahan: kertas HVS, lem, penggaris, gunting,
jangka, alat tulis.

Langkah-langkah:

1. Gambarlah beberapa sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama pada setiap lingkaran pada lab. Mini (A)

2. Sudut pusat yang telah kamu lipat (pada lab. Mini (A)), bandingkan dengan sudut-sudut keliling dalam lingkaran yang sama.

3. Lakukan langkah (2) pada setiap lingkaran 4. Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh?

Apakah kesimpulan yang kamu peroleh sesuai dengan kesimpulan berikut?

•

• •

2x
°

Gambar 6.12

10
°
_O

• •

x
°

x
°

S R

T • O

Q R

S P

Gambar 6.13

Soa

Perhatikan gambar half dozen.13 di samping. ∠POQ, ∠QOR, ∠POR, adalah sudut-sudut pusat. Dapatkah kamu menyebutkan sudut pusat yang lain?

Dapatkah kamu mencari dua sudut pusat yang sama? Mengapa sama?

Gambarlah ∠PRT, ∠PQT dan

∠PST. Bagaimana besar ketiga sudut tersebut? Jelaskan!

Soal 1

Besar sudut keliling-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah

sama besar

Sudut

Keliling

(17)

Gambar vi.xiv di samping adalah gambar lingkaran dengan pusat A. OC diameter lingkaran. Jika

besar ∠OAB = 2xo dan besar ∠BAC = (3x – 30) o, tentukan: a. besar ∠OAB

b. besar ∠BAC c. besar ∠BCO d. besar ∠CBO

A•

Gambar half-dozen.14

Hubungan Perbandingan Senilai antara Besar Sudut Pusat, Sudut

Keliling, Panjang Busur, dan Luas dari Dua Juring suatu Lingkaran.

Gambar 6.15 di samping adalah gambar lingkaran dengan pusat Due east. Jari-jarinya : 10 cm, ∠AEN = 60o,

JN adalah diameter dan ∠JES = 90o, π = iii,14.

East

•

N J

S Gambar 6.15 Tentukan:

a. Panjang busur AN b. Panjang busur JA

c. Besar ∠JEA d. Besar ∠JSN

e. Besar ∠ASN f. Besar ∠JSA

g. Luas juring JEA h. Luas juring AEN i. Besar_Besar∠_∠AEN_JEA
j. Besar_Besar∠_∠ASN_JSA

k. Panjang_Panjangbusur_busurAN_JA
fifty. Luas_Luasjuring_juring
AEN_JEA
thousand. Apa hubungan antara i, j, grand dan l?

Soal 2

Soal 3

B

(xviii)

Gambar 6.15 di bawah adalah gambar lingkaran dengan pusat O. Panjang jari-jari =
r, AD adalah diameter, ∠AOB =
qo_dan∠_{COD =}

_p
o_.

Tentukan hubungan antara CD

busur Panjang

AB busur Panjang

,
_BesarBesar_∠∠_CODAOB,
_BesarBesar_∠∠_CADADB dan COD

juring Luas

AOB juring Luas

Apa kesimpulanmu?

Jika sudut-sudut pusat berbanding sebagai p : q, maka perbandingan panjang busurnya dan perbandingan luas juringnya yang sesuai dengan sudut-sudut pusat tersebut adalah sama, yaitu p : q

Dengan demikian berlaku:

• O A

po C

D Gambar half-dozen.16

Ferri lari pagi mengelilingi sebuah taman yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari fourteen meter. Jika Ferri dapat berlari 5 putaran, maka tentukan jarak yang ditempuh Ferri. Tentukan juga berapakah luas taman itu? (π = 22₇
).

Soal iv

(nineteen)

Suatu lembaran plat baja berbentuk lingkaran mempunyai luas 154 m2_Plat

ini digunakan untuk menutup bak penampungan air berbentuk tabung. Sekeliling plat dipaku sedemikian rupa dengan jarak antara 2 paku adalah 0,5 m. Tentukan banyak paku yang dibutuhkan.

1. Gambar 6.17 di samping adalah gambar lingkaran berpusat C dan
_AB
dan
_XY
merupakan bore lingkaran.

Besar ∠BCQ = (4x
+ 15)o, ∠QCX = (2x
+ 5)o dan ∠BCY = twoxo . Hitunglah: a.
x

b. Besar ∠YCQ c. Besar ∠QCA d. Besar ∠BXQ e. Besar ∠QBA f. Besar ∠YXQ

two.

Berpikir Kritis.

Jika dua lingkaran mempunyai

sudut pusat yang sama, maka kedua lingkaran tersebut sama besar. Benarkah pernyataan ini? Coba kamu jelaskan!

three. Kembali ke kue bolu Ibu. Jika Ibu ingin memotong kue bolu tersebut menjadi 6 bagian yang sama besar. Berapa besar sudut pusat tiap potongan? Dan berapa luas bagian dasar dari tiap potong kue?

Penalaran.

Atjong seorang perancang sepeda. Dia

merancang sebuah roda dengan 30 jeruji yang berjarak sama. Jeruji-jeruji itu diberi nomor urut dari one sampai 30. Carilah besar sudut pusat yang dibentuk oleh

jeruji-Y Q

A C

Gambar half dozen.17

•

Paku

Soal 6

(20)

•

Q R

five.

Pemecahan Masalah.

Pak Surya adalah guru olah

raga. Dia menyuruh murid-muridnya untuk membentuk sebuah lingkaran. Jarak antara murid yang satu dengan yang lain sama jauhnya. Jika murid nomor 12 berseberangan langsung dengan murid nomor 35, berapa banyak murid dalam lingkaran tersebut?

vi. Kamu akan mendesain roda pedati dengan banyaknya jeruji adalah 8 seperti gambar di samping. Ceritakan bagaimana kamu mendesain roda itu.

7. Pada gambar di samping ∠POQ = 72o_{, panjang busur PQ}

= 36 cm dan panjang busur QR = 32 cm. Hitung besar ∠ROQ.

8. Gambar di samping adalah gambar lingkaran pusat O dan jari-jari 7 cm.

Dengan memilih π=22₇
, tentukan: a. Luas juring OEF.

b. Luas ΔOEF.

c. Luas tembereng EGF.

•

O Due east

⎣

•G

ix. Perhatikan gambar di samping! Panjang busur EF = 8 cm

a. Tentukan
x

b. Tentukan panjang busur DE c. Tentukan panjang busur FG d. Tentukan panjang busur DG

•

D M

F E

(iix+xv)o

(2x)o

(x+25)o

(3x)o

ten. Sebuah seng berbentuk persegi yang panjang sisinya 120 cm, akan dibuat tutup botol. Satu tutup botol membutuhkan seng seluas vi,28 cm2_{. Berapakah banyak}

(21)

11. Sebuah lapangan sepakbola berbentuk gabungan antara persegi panjang dan dua setengah lingkaran seperti gambar berikut. Panjang dan lebar dari lapangan yang berbentuk persegi panjang berturut-turut 110 thou dan 60 g.

Lapangan tersebut ditanami rumput yang harganya per m2_{adalah Rp thirty.000,00. Tentukan:}

a. Keliling lapangan sepakbola

b. Biaya yang dibutuhkan untuk menanam rumput di lapangan.

12. Jika perbandingan keliling dua lingkaran adalah

a : b. Tentukan perbandingan luas kedua lingkaran tersebut.

(22)

Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran

Apakah kamu mempunyai sepeda?

Perhatikan rantai sepeda, seperti pada gambar 6.eighteen.

Gambar 6.18

Jika kamu amati maka rantai sepedamu menyinggung
gir. Roda sepeda itu berbentuk lingkaran

Apakah kamu mempunyai sumur? Ataukah kamu pernah melihat sumur? Salah satu cara untuk mengambil air dari dalam sumur yaitu dengan menggunakan tali dan roda seperti pada Gambar vi.xix.

Jika kamu amati maka tali menyinggung roda. Roda itu berbentuk lingkaran

Dapatkah kamu mencari contoh lain yang berkaitan dengan bentuk lingkaran dan benda yang menyinggung lingkaran tersebut?

Apa yang akan kamu

pelajari?

• Sifat sudut yang dibentuk garis yang melalui titik pusat dengan garis singgung lingkaran.

• Mengenali bahwa melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.

• Melukis dua garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran.

• Melukis dan menghitung panjang garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran

Kata Kunci:

• Garis singgung lingkaran

Gambar vi.nineteen

Sifat Gar is Singgung Lingkaran

A

(23)

• O A

c

b

a

• O

B A

1. Gambarlah lingkaran berpusat di titik O dan mempunyai diameter AB , seperti Gambar half-dozen.20

ii. Pada Gambar 6.21 garis
a
melalui O dan tegak lurus AB .

a. Garis
a
memotong lingkaran di berapa titik? Gambarlah garis
b,
c,
d
sejajar
a. b. Setiap garis itu memotong lingkaran

di dua titik.

c. Adakah garis yang sejajar
a
dan memotong lingkaran tepat di satu titik?

three. Gambarlah garis
e
dan
f
yang sejajar garis
a
dan memotong lingkaran di satu titik. Garis
e
dan
f
disebut
garis singgung

pada lingkaran, titik A dan B disebut

titik singgung.

Karena
a
⊥
_AB
dan
e
//
a
maka
e
⊥
_AB

Bagaimana sudut yang dibentuk garis
eastward
dengan
_AB
? Bagaimana sudut yang dibentuk garis
f
dengan
_AB
?

Gambar vi.xx

Gambar 6.21

Cocokkan kesimpulanmu dengan kesimpulan berikut. Garis singgung lingkaran tegak lurus pada diameter lingkaran yang melalui titik singgungnya.

• O

A

_e

O ⎣ Gambar 6.22

(24)

• O

• A

•P Gambar 6.23

Gambar 6.24

Observasi

one. Gambarlah lingkaran yang

berpusat di O dan titik A pada lingkaran, seperti Gambar 6.23 2. Gambarlah garis singgung pada

lingkaran melalui titik A.

Ada berapa banyaknya garis singgung lingkaran melalui A yang dapat kamu buat?

3. Gambarlah lingkaran yang

berpusat di P dan titik Q di luar lingkaran, seperti Gambar vi.24. Dari titik Q gambarlah garis singgung pada lingkaran yang berpusat di titik P. Ada berapa banyaknya garis singgung lingkaran yang dapat kamu buat?

Dapatkah kamu mencari benda-benda di sekitarmu yang dapat digunakan sebagai contoh garis menyinggung lingkaran? Sebutkan!

A K

Gambar di samping adalah lingkaran dengan pusat A.
Buktikan: KP = LP.

Dari hasil observasi di atas, apakah hasilmu sesuai dengan kesimpulan berikut?

Soal one

• Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.

• Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

• Jika P di luar lingkaran maka jarak P ke titik-titik singgungnya adalah sama.

(25)

Melukis Garis Singgung

Kamu telah mengetahui bahwa suatu garis singgung lingkaran tegak lurus pada diameter / jari-jari yang melalui titik singgungnya.

Bagaimana caramu melukis garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran?

•O

•T

•O T

•

D C

B A

B

Langkah-langkah:

i. Gambarlah lingkaran dengan pusat O dan titik T pada lingkaran.

ii.
_{Gambarlah jari-jari OT dan}
perpanjangan OT

3. Lukis busur-busur lingkaran yang berpusat di T sehingga memotong

OT di A dan perpanjangan OT di B.

four. Lukis busur-busur lingkaran dengan pusat A dan B yang berjari-jari sama panjang sehingga kedua busur tersebut berpotongan di C dan D.

5. Buatlah garis melalui C dan D. Garis melalui C dan D merupakan garis singgung pada lingkaran yang melalui T.

(26)

Bagaimana kamu melukis garis singgung pada lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran?

Langkah-langkah:

1. Gambarlah lingkaran dengan pusat A dan titik P di luar lingkaran.

two. Gambarlah AP dan buat garis sumbu AP . Garis sumbu ini memotong AP di titik T.

3. Buatlah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari AT . Lingkaran tersebut memotong lingkaran pusat A di 1000 dan L.

4. Gambarlah garis melalui P dan K dan garis melalui P dan L. PK dan PL merupakan garis singgung lingkaran dengan pusat A yang dapat dilukis dari titik P di luar lingkaran.

5. Buatlah AK dan AL .

Perhatikan ΔAKP, ∠AKP menghadap diameter lingkaran pusat T. Jadi besar ∠AKP = 90o. Dengan demikian garis singgung
_PK⊥AK dan PL⊥ AL . PLAK disebut

layang-layang garis singgung.

•

• A •

(27)

Panjang Garis Singgung Lingkaran

_.

Gambar 6.25 di samping adalah lingkaran dengan pusat O. AB garis singgung lingkaran. Karena AB garis singgung pada lingkaran pusat O maka AB tegak lurus

BO.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras didapat:

(OA)two_{= (OB)}2_{+ (AB)}two Gambar half-dozen.25

Gambar di samping adalah lingkaran dengan pusat C dengan AB menyinggung lingkaran di B.

Tentukan panjang AC.

B 9

Gambar di samping adalah lingkaran yang berpusat di P dengan jari-jari
PR.

Jika TQ = 8 ,tunjukkan QR garis singgung lingkaran.

8 T P

12 R

one. Gambar di samping adalah lingkaran dengan pusat O. Sebutkan garis manakah yang merupakan garis singgung lingkaran dan sebutkan pula titik singgungnya.

F Thou H

•O

C D

Soal i

Soal 2

C

(28)

Thou

C D A

Yard B

ii. Gambar di samping adalah lingkaran dengan pusat P. Tentukan

a. Besar ∠PKA b. Besar ∠PLA c. Panjang PK d. Panjang AL

3. Gambar di samping adalah lingkaran dengan pusat 1000, AM = 5 cm, dan DM = ii,5 cm.

a. AM ⊥ …..

b. CM ⊥ …..

c. Air conditioning ⊥ …..

d. BM = ….. eastward. AD = ….. f. BD = ….. g. BC = …..

h. Luas BAMC = …..

Gunakan gambar 6.26 di samping untuk soal no. 4 – 12.

LK dan LE garis singgung lingkaran

Besar ∠EML = 60o, KM = 15 cm dan LK = 36 cm. Tentukan:

4. Besar ∠MKL 5. Besar ∠ELM 6. Panjang EL 7. Besar ∠KPE

viii. Segitiga apakah ΔKLE?

9. Segitiga yang kongruen dengan ΔKML 10. Ruas garis yang tegaklurus KM

xi. Apakah ∠EMK dan ∠ELK saling bersuplemen? 12. Panjang ML

East

600

36 M

Chiliad

L P

(29)

Untuk masing-masing lingkaran di bawah ini , tentukan nilai
x!

13. 14.

15. xvi.

17. Lukis garis singgung pada lingkaran dengan pusat O dan melalui titik P pada lingkaran.

18. Lukis garis singgung pada lingkaran pusat A dan melalui titik Tdi luar lingkaran.

19.
Berpikir Kritis.

Dapatkah kamu melukis garis singgung pada lingkaran pusat A melalui titik P di dalam lingkaran (seperti gambar di samping)? Jelaskan!

10
cm

fourteen cm

4 cm

ten
cm

16 cm

(vix+five) cm

(-2x+37) cm

ten
cm 12 cm 8 cm

•P

•O

•A •T

•P

(30)

Lingkaran Dalam suatu Segitiga

Kerja Kelompok

Langkah-langkah:

1. Gambarlah lingkaran berpusat O.

• Gambarlah garis singgung lingkaran. • Gambarlah dua garis singgung lainnya

sehingga garis-garis singgung tersebut berpotongan dan membentuk segitiga. • Ternyata lingkaran berpusat O berada

dalam segitiga. Lingkaran ini disebut
lingkaran dalam segitiga. Dapatkah
kamu menyebutkan ciri-ciri lingkaran dalam segitiga?

6. 5

Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar

Apa yang akan kamu

pelajari?

• Lingkaran dalam segitiga. • Lingkaran luar segitiga

Kata Kunci:

• Lingkaran dalam • Lingkaran luar

A

2. Gambarlah lingkaran berpusat di O.

• Gambarlah ΔABC sehingga lingkaran yang kamu gambar di atas merupakan lingkaran dalam segitiga.

• Tarik ruas garis AO, sehingga memotong BC di D. Tarik ruas garis BO, sehingga memotong AC di E. Tarik ruas garis CO, sehingga memotong AB di F.

Tunjukkan pula bahwa besar ∠EAO = besar ∠FAO, besar ∠FBO = besar ∠DBO, dan besar ∠DCO = besar ∠ECO.

• Apakah dugaanmu tentang hubungan perpotongan
garis bagi –garis bagi segitiga dan pusat lingkaran
dalam segitiga?

• Hitung luas ΔAOB, ΔBOC, dan luas ΔAOC.

• Jika
r
jari-jari lingkaran dalam segitiga, L luas segitiga, dan
s
setengah keliling segitiga, tunjukkan

r
=

southward
L

(31)

Cocokkan hasil dugaanmu dengan kesimpulan berikut.

three. Gambar di samping adalah ΔPQR siku-siku di P. PR = four cm dan PQ = 3 cm. Hitung panjang jari-jari lingkaran dalam.

P Q

Lingkaran Luar suatu Segitiga

Kerja Kelompok

Langkah-langkah:

1. Gambarlah lingkaran berpusat O

• Gambarlah talibusur AB, BC, dan CA sehingga terbentuk ΔABC. Titik-titik sudut segitiga terletak pada lingkaran. Lingkaran ini disebut lingkaran
luar segitiga.

• Buat ruas garis AO, BO, dan CO. Segitiga apakah ΔAOB, ΔBOC dan ΔAOC?

• Buatlah garis tinggi-garis tinggi dari O ke AB, BC, dan CA berturut-turut sehingga memotong di D, E, dan F. Dengan memperhatikan fakta di atas, garis tinggi-garis tinggi tersebut juga merupakan garis apa?

• Apakah dugaanmu tentang hubungan antara garis
sumbu-garis sumbu sisi-sisi segitiga ABC dan
pusat lingkaran segitiga?

Cocokkan hasil dugaanmu dengan kesimpulan berikut.

B

Perpotongan antara ketiga garis sumbu pada segitiga merupakan pusat lingkaran luar sebuah segitiga. Ide ini dapat digunakan melukis lingkaran luar suatu Garis-garis bagi sebuah segitiga berpotongan di satu titik yang merupakan pusat lingkaran O. Ide ini dapat digunakan untuk melukis lingkaran dalam suatu segitiga.

(32)

•P E

D B C

two. Dengan menggunakan jangka dan penggaris, lukislah lingkaran luar ΔABC.

three. Jika diketahui ΔABC dapatkah kamu menentukan panjang jari-jari lingkaran luarnya?

4. Gambar lingkaran dengan pusat P dan jari-jari
r
dan ΔABC dengan titik-titik sudut pada lingkaran. Buatlah diameter lingkaran melalui C dan memotong lingkaran di D.

• Gambar garis tinggi melalui C dan memotong AB di Due east. Gambar BD. Berapakah besar ∠CBD?

• Hitung luas ΔABC!

• Selidiki apakah ΔACE sebangun dengan ΔCBD?

• Jika jari-jari lingkaran luar adalah R tunjukkan bahwa
R=
_four
AC BC AB
_×

_{Luas ABC}
×
_Δ× . v. Jika diberikan tiga titik sebarang yang tidak segaris

dapatkah kamu melukis lingkaran melalui ketiga titik tersebut?

Tulislah langkah-langkah untuk melukis lingkaran tersebut.

1. Perhatikan gambar 6.27. Jika jari-jari lingkaran =
r, maka tentukan
10
dan
y.

Untuk soal no. 2 – 3 gunakan gambar 6.28 di samping 2. Jika luas ΔPQR = 34cm2_{, PQ = 13cm QR = 14cm,}

PR = 15cm, maka tentukan
r.

3. Jika PQ = 10cm, QR = 17cm, PR = 21cm dan

r
= half-dozen cm, maka tentukan luas ΔPQR.

Gambar 6.28

•O

Lat ihan 6 . 5

x y

(33)

five. Perhatikan gambar half dozen.29 di samping. Jika SQ = 5 cm, RS = 12 cm dan panjang PR = QR. Tentukan panjang PO. 6. Perhatikan gambar half dozen.30 di

samping, Advert = 6 cm, CD = 15 cm, BD = viii cm dan BC = 17 cm. Buatlah soal dengan menggunakan fakta di atas. Minta teman sebangkumu untuk mengerjakan soal yang kamu buat, dan kamu mengerjakan soal yang dibuat teman sebangkumu.

Southward Q

•O

Gambar half-dozen.29

Gambar 6.30 B

A
_{D C}

iv. Diketahui ΔABC dengan AB = xiii cm, BC = 10 cm dan Air-conditioning = 13 cm.

Tentukan panjang:

a. Jari-jari lingkaran dalam ΔABC. b. Jari-jari lingkaran luar ΔABC.

(34)

Kedudukan Dua Lingkaran

Gambar 6.31 adalah lingkaran dengan pusat K berjari-jari R dan lingkaran dengan pusat Northward berjari-jari r dengan MN > R + r. Apakah kedua

lingkaran itu berpotongan?

Gambar 6.31

• N

• M

R

r

Gambar 6.32 adalah lingkaran dengan pusat G berjari-jari R dan lingkaran dengan pusat Due north berjari-jari r dengan
_MN
= R + r. Apakah kedua lingkaran itu berpotongan?

Gambar 6.33 adalah lingkaran dengan pusat Grand berjari-jari R dan lingkaran dengan pusat N berjari-jari r dengan MN < R + r. Apakah kedua lingkaran itu berpotongan?

Gambar 6.34 adalah lingkaran dengan pusat M berjari-jari R dan lingkaran dengan pusat Northward berjari-jari r dengan MN = R – r. Apakah kedua lingkaran itu berpotongan?

• •

Gambar 6.32

Gambar half dozen.34

R r Due north

half-dozen. 6

Garis Singgung Persekutuan Dua

Apa yang akan kamu

pelajari?

• Kedudukan dua lingkaran • Melukis garis singgung • Menghitung panjang garis

singung

• Melukis garis singgung persekutuan dua lingkaran

• Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran

• Layang-layang garis singgung.

Kata Kunci:

•
Garis singgung
•
persekutuan

Lingkaran

A

•N

•

(35)

Gambar 6.35 adalah lingkaran dengan pusat One thousand berjari-jari R dan lingkaran dengan pusat Northward berjari-jari r dengan M=Due north. Kedua lingkaran ini dinamakan lingkaran yang sepusat (konsentris).

N•M

Gambar half-dozen.35

Garis Singgung Persekutuan

Gambar half dozen.36 di bawah adalah rantai sepedamu yang menghubungkan piringan di bagian depan dan gir di bagian belakang.

Gambar 6.36 Apakah rantai menyinggung piringan? Apakah rantai menyinggung gir?

Ternyata rantai menyinggung piringan dan gir.

Masih banyak contoh-contoh di sekitarmu seperti mesin perontok padi, mesin parut kelapa, dll.

•G A

•Due north D

B
_{Pada gambar six.37 di samping,}

garis
_AB
dan DC menyinggung

lingkaran yang berpusat di Chiliad dan lingkaran yang berpusat di N. Kedua garis singgung itu disebut
garis singgung persekutuan luar.
Gambar 6.37

(36)

•M P

•N S

R Adakah garis singgung persekutuan_lainnya?
Pada Gambar 6.38, PQ dan RS

Lingkaran pusat Grand dan lingkaran pusat North gambar di samping tidak berpotongan mempunyai garis singgung PQ dan RS. Kedua garis singgung itu disebut garis singgung
persekutuan dalam.

Panjang Garis Singgung Persekutuan

Gambar half-dozen.38

•A

• B

N L

R

d

Gambar 6.39

Gambar vi.39 di samping adalah lingkaran dengan pusat A dan panjang jari-jari
R
serta lingkaran dengan pusat B dan panjang jari-jari
r. Jarak antara A dan B dinyatakan dengan
a. Ruas garis KL dengan panjang
d
adalah salah satu garis

singgung persekutuan luar kedua lingkaran itu.

Melalui B gambarlah garis sejajar KLsehingga memotong AKdi N. Dengan demikian BN ⊥ AK.

a. Bangun apakah segiempat BNKL?

b. Segitiga apakah ΔANB? Perhatikan ΔANB.

ΔANB adalah segitiga siku-siku dengan demikian berlaku hubungan

(AB)ii
_{= (AN)}ii_{+ (BN)}ii

(BN)2
_{= (AB)}2_{– (AN)}2

= (AB)ii_{– (AK – NK)}ii

BN = ( ) (two )2

NK AK

AB − − padahal BN = KL dan NK = BL Jadi
_KL
₌
_{( ) (}
_AB
2₋
_AK
₋
_BL
₎ii

atau 2 2

)
r
R
(
a

d= − − dengan

a
: jarak antar pusat kedua lingkaran

R
: jari-jari lingkaran besar

r
: jari-jari lingkaran kecil K

(37)

Gambar 6.twoscore •

A •B

K L

Northward

r

d

Bagaimana menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam?

Gambar six.40 di samping adalah lingkaran dengan pusat A dan dengan pusat B.
_KL
garis singgung persekutuan dalam.

a. Gambarlah garis melalui B sejajar
_KL
dan memotong perpanjangan

_AL

di N. b. Bangun apakah segiempat BKLN? c. Segitiga apakah Δ ABN?

Pada Δ ABN berlaku AB2
_{= AN}two_{+ BN}two

BN2_{= AB}2_{– AN}2

BN2_{= AB}2_{– (AL + NL)}2

Karena NL = BK maka

BN = AB2−

(

AL+NL

)

2
BN =
_AB
ii
−

(

_AL+_BK

)

ii
KL = BN

Jadi KL = AB2
−

(

AL+BK

)

atau

2 two

)
r
R
(
a

d= − +

dengan
a
: jarak antar pusat kedua lingkaran

R
: jari-jari lingkaran besar

r
: jari-jari lingkaran kecil

•A

• B thirteen cm

8 cm Thousand

Perhatikan gambar di samping,
_KL
garis singgung persekutuan.

AK = 8 cm, AB = thirteen cm dan BL = 3 cm.

Hitung panjang ruas garis
_KL
.

(38)

Berapakah Busur Setengah Lingkaran Yang Dapat Dibuat Dari Suatu Lingkaran

Source: https://text-id.123dok.com/document/y4w13rvq-07-matematika-kls-8-bab-6.html